Работа: Ответы на вопросы по Высшей математике
Предмет: Экономико-математические методы
1.Задачи перспективного планирования. Динамическое программирование.
При решении линейных и нелинейных задач мы считали экономич процесс статическим, реш-е нах-сь только на один этап, такие задачи наз одноэтапными или одношаговыми. Предмет изучения ДП- процессы, развив-ся во времени. ДП-ем наз-ся и метод, спец-но приспособленный для решения многошаговых задач. М-д ДП м-т быть применён, когда время не фигурирует, но прцесс можно расчленить на шаги. Многошаговым счит-ся процесс, развив-ся во времени и распад-ся на неск-ко шагов. Одной из особ-тей ДП явл-ся то,что прин-ие реш-я по отн-нию к многошаговым процессам-не одиночный акт,а целый комплекс взаимосвязанных реш-ий. Последовательность этих взаимосвяз-х реш-ий наз стратегией. Оптимальная стр-гия- это стр-гия, обеспеч-щая получ-ие наилучшего рез-та с т.зр.некоторого ранее выбранного критерия. Суть метода ДП состоит в том что вместо решения всей сложной задачи предпочит-т решать более простые задачи аналогичного содержания. другая осб-ть метода ДП- назавис-ть оптим-го реш-я, прин-мого на кажд очередном этапе от предыстории, т.е.от того каким образом был получен наст рез-т. Метод ДП хар-ся ещё и тем что выбор оптим реш-ия на кажд этапе д-н производ-ся с учетом его последствий в будущем. Это означает, что оптимизируя процесс на кажд этапе не следует забывать о последующих этапах след-но, что поэтапное планирование д-но производится чтобы при планир-нии кажд шага учитывалась не выгода, получаемая на этом этапе, а суммарная выгода, получаемая при окончании процесса. Этот принцип выбора оптимал реш-ия в ДП носит название принципа оптимальности. Принцип оптимальности : оптим стр-гия обладает тем св-вом,что каковы бы ни были первонач состояния и первонач реш-ия реш-е, принимаемое на опред этапе, вместе с последующими реш-ми д-ны сост-ть оптим стратегию. Исключением при многоэтап планир-нии явл последн шаг,кот д.быть оптимальным сам посебе ( не учит последствия в будущем). Спланировав оптимальным образом последний шаг можно пристроить предпоследний шаг, чтобы был наилучшим суммарный эф-т последних 2-х шагов и т.д. Именно так от конца к началу можно развернуть процедуру поиска реш-я многоэтап проц-са. Но чтобы оптимально спланир-ть послед шаг след-т сделать предлож-ие отн-но того, чем законч-ся послед шаг и для каждого из таких предположений найти реш-ие,при кот-м эф- на послед шаге будет наибольшем. Такое оптимал-ое решение найденное при условии, что предыдущий шаг заверш-ся опред-м образом, наз-ся условно-оптимальным, аналогично оптим-ся предпоследний шаг, т.об.на кажд шаге в соотв с принципом оптимальности ищется реш-е, обесп-щее оптим продолжение процессаотн-но сост-ия достигнутого в наст момент. Если при движении от конца к началу построена последоват-ть усл-оптимал реш-ий, то остается прочесть эту послед-ть в обратном направлении.2. Многоцелевые (многокритериальные) задачи.
Как правило эффективность пр-ва определяется не одним, а многими экон показателями. Задачи, решаемые с учетом множества критериев наз многоцелевыми. Многоцелевые задачи могут быть линейными и нелинейными. Планы задач, получаемые по различным критериям, очевидно будут разные. Цель решения многоцелевых задач состоит в том, чтобы найти план, при котором система критериев была бы наилучшей. В зависимости от критериев по-разному определяется оптимальный план многоцелевых задач. Если все критерии многозначны, то эффективным считается тот план, при котором отклонение от оптимумов по каждым критериям равны; если критерии неравнозначны, то оптимальный план находится по методу уступок. Перед тем, как использовать метод уступок критерии располагаются по их значимости, наиболее важным является первый; далее решается задача по первому критерию, т.е. находится f1* экстремальное значение целевой функции. На следующем этапе делается уступка по 1-му критерию, в ограничения задачи добавляется условие f1k1f1*, k – некоторое число из интервала 0k11. Затем решается задача по 2-му критерию при дополнительном ограничении, т.е. находится f2*, делается уступка по 2-му критерию: f2 снижается до k2f2*, где 0k21. В систему ограничений добавляется еще одно ограничение: f2k2f2* и решается задача по 3-му критерию, т.е. находится f3* и т.д. до тех пор пока не будет получено решение по всем критериям. Окончательный план и будет субоптимальным решением (планом). При этом получ экспериментальное значение наименее важного критерия при гарантированных значениях предшествующих критериев.3.Метод наименьших и равных отклонений.
При решении многоцелевой задачи потреб-м, чтобы отклонение каждого из значений целевой функции от своего экстремального значения было минимальным и все отклонения были равны между собой, должно выполняться: f1-f1*/ f1* = f2-f2*/ f2* =…= fn-fn*/ fn*. Преобразуем эти условия: последн условие, если критерии f1fk, критерии на max имеют вид: +f1-f1*/ f1* = +fk-fk*/ fk* (f1/ f1*)-1 = (fk/ fk*)-1 f1q1 = fkqk; q1=1/f1*; qk=1/fk*; f1q1 – fkqk=0. Если 2 критерия на min, то дополнительные условия будут иметь тот же вид. Если 1-й на min, 2-й на max, то требования равенства отклонений превращаются: f1q1 + fkqk=2. Учтем требования минимальности отклонения (для I условия): f1-f1*/ f1* min f1f1* для f1 зад max. В качестве целевой функции можно взять любое из выражений: U=f1(max); U=f2(min); …; U=fk(extr). Чтобы решить многоцелевую задачу методом равных и наименьших отклонений, необходимо составить так называемую замещающую задачу, т.е. к системе ограничений данной задачи добавить дополнительные условия:4. Усложненная постановка задач транспортного типа.
На практике возможны задачи с большим числом ограничений, это осложняет решение транспортных задач, рассмотрим наиболее часто случающиеся случаи:
1) нередко требуется минимизировать суммарные расходы на транспортировку и производство продукции; критерий оптимальности – сумма затрат на производство первого груза и его перевозку;
2)иногда требуется учесть ограничения, исключающие поставки от одного поставщика к 1 или нескольким потребителям, тогда перевозки, исключаемые учитываются блокировкой составляющих клеток4 тарифы клеток = большому числу;
3)иногда требуется учитывать пропускные способности некоторых маршрутов, также применяется метод искусственной блокировки; если по маршруту не может быть перевезено > d единиц груза, то столбец Вк разбивается на В и В в 1-ой странице спрос= В во втором столбце спрос=…
Тарифы в столбцах одинаковы, в клетке позиции (S,K) тариф = завышаемому тарифу М;
4) может случиться, некоторые поставки по определенным маршрутам обязательны, тогда в матрице перевозок записываются обязательные перевозки, а затем задача решается относительно необязательных перевозок;
5) задачи по физическому смыслу не связанные с транспортными задачами и могут быть описаны аналогичными транспортными моделями и решаться тем иже моделями транспортных задач; иногда в задаче транспортного типа целевая должна быть max.начально- опорочный план строится с клетки с наибольшим значением показателя критерия показателя; оптимальный план- план, для которого все косвенные тарифы: Sік=Cік-(φi+Vк)≤0 неположительны. Перспективный для загрузки в случае не оптимальности является к-ка с положительным косвенным тарифом.5. Построение функциональной зависимости на основании экспериментальных данных.
Пусть при исследовании зависимости между признаками X, Yполучатся значения признака Yi при соответственных значениях признака Xi , т.е. имеется таблица экспериментальных данных. Требуется построить зависимость Y(X) иногда из некоторых теоретических соображений, предыдущего опыта можно сделать предположение относительно вида зависимости ( линейная- ах+в; квадратичная У= ах²+в+с; обратная зависимость y=a/x+b, экспоненциальная зависимость у=ае‾×b(индексы).
Вид зависимости может быть подсказан расположением на координатной плоскости ХОУ т-к с координатами Xi,Yi, i=1,¯n. Когда сделано предположение о виде зависимости, нужно установить пар-ры зависимости. Задача поиска пар-ров решается с помощью широко применяемого метода наименьших квадратов; его суть: рассмотрим сумму квадратов отклонений имперических значений Yi от значений, полученных по расчетной формуле Y=φ(X) при заданных значениях X=XıX2….Xn, т.е. рассматривается функция: S= (Yi─φ(хi))².
Если зависимость линейная, то у=ах+в и ф-ла: S=(i-Yiрасч)²=(Yi-ахi-в)², получается функция S является функцией 2x аргументов: S=S(a,b) . Очевидно, что расчетная формула тем лучше описывает, чем < значение принимает функция S=S(a,b) , т.о. задание сводится к описыванию минимальной функции 2 переменных, из предыдущего известно, если функция нескольких переменных имеет в т-ке Μ экстремум и в ней существует част. производ. функции, то все эти част. произв-м = 0 , отсюда следует точки экстремума искать среди точек, в которых част. производная = 0. В случае множественной зависимости эти условия примут вид:
∂S /∂a=0 ∂S/∂b=0(сист.)
∂S/∂a=∂/∂a ∂/∂a=∂/∂a(Yi-AXi-B)²=Yi-AXi-B)•(Yi-AXi-B)A=2Yi-AXi-B)•(-Xi)= -2Yi-AXi-B)•Xi; -2Yi-AXi-B)•Xi=0
Yi-AXi-B)•Xi=0; YiXi-AXi²-BXi)=0; YiXi-AXi²- BXi=0; YiXi-A Xi²-BXi
Получаем линейное уравнение относительно а и в : AXi²+ BXi=YiXi
Найдем частн. Производную по в: ∂S/∂a=Yi-AXi-B)•(-1)=0; -2Yi-AXi-B)=0 ; Yi-AXi-B)=0; Yi-AXi- B=0; Yi-AXi-NB=0; AXi+NB=Yi
Таким образом полученна система 2х уравнений с двумя неизвестными а и в :
AXi²+ BXi=YiXi Решая эту систему находим параметры а и в .
AXi+NB=Yi (сист.) Последняя система наз. сист. Нормальных уравнений
для определения параметров а и в линейной зависимости. Рассмотрим случай квадратичной зависимости между признаками Х и У; у=ах²+ вх+с. В этом случае сумма квадратов отклонений экспкрементальных данных от расчетных данных имеет вид: S=(Yi-AXi²-BXi-C)², S=S(а, в, с). Видим, что фукнкция Si=1- функция от з параллельных. Параметры а, в, с, следует определить так, чтобы S принимало минимальное значение. Точки минимума функции S найдем из условия равенства нулю частных производных:
∂S /∂a=0 ∂S/∂b=0(сист.)
∂S/∂с=0
Найдем частную производную по а : ∂S /∂a=2(Yi-AXi²-BXi-C)•(-Xi²)=0
-2YiXi2-AXi2-BXi3-CXi2)=0; yixi2-axi4-bxi3-cxi2=0; аx14+bxi3+ cxi2=yixi2
Наидем частичную производную по в , приравнивая ее к нулю: ∂S/∂b= =2(Yi-AXi²-BXi-C)•(-Xi²)=0; -2YiXi2-AXi2-BXi3-CXi3)=0; yixi2-axi4-bxi3-cxi2=0; аxi4+bxi3+ cxi2=yixi2
Найдем частную производную по в приравнивая ее к нулю:
∂S/∂b=2(Yi-AXi²-BXi-C)2; 2(Yi-AXi²-BXi-C)•(-Xi)=0 ; yixi2-аxi3-bxi2-cxi=0; аxi3+bxi2+ cxi=yixi2
Найдя частную производную по с и затем приравняв ее к 0 , в результате придем к уравнению: аxi2+bxi+ cn=yi, таким образом получена система нормальных уравнений для определений параметров а, в, с квадратной зависимости. Система 3 уравнений с тремя неизвестными:
аx14+bxi3+ cxi2=yixi2; аxi3+bxi2+ cxi=yixi2; аxi2+bxi+ cn=yi ( сист.)
Рассмотрим случай экспоненциальной зависимости у и х : у= асвх а, в - ? (находится по схеме предидущих случаев) S=(yi-aebxi)2; ∂S/∂a=2(yi-aebxi)ebxi; (yi-aebxi)ebxi=0; (yiebxi-ae2bxi)=0. Относительно а – линейное уравнение; относительно b – показательное уравнение. Другая частная производная, приравнивается к нулю, приводит к нулю: ∂S/∂a=2(yi- aebxi)aebxixi=0; a2e2bxixi- aebxixiyi=0. Таким образом получено еще одно уравнение, но решить полученную систему 2х уравнений не предусматривается возможным. В связи с этим при нахождении параметров экспоненциальной зависимости расчетную формулу предварительно логарифмируют: y= aebx. ℓny=ℓn aebx; ℓny=ℓna+ℓnebx; ℓny=ℓna+bx(*). Если теперь ввести новые переменные У=ℓny, А=ℓna, В=ℓnb, то соотношение (*) примет вид :У=А+Вх – линейная зависимость У/ от Х.6. Положение корреляционных методов. Парная корреляция.
Постановка экономико-матем. модели позволяет дать количественную характеристику связи, зависимости и обусловленности экономических показателей; хоть экономико-матем. модель является упрощенным отражением действительности она обеспечивает строгий математический подход к исследованию сложившихся экономических взаимосвязей к выяснению вопроса о том существенно ли изучаемая зависимость, в какой форме проявляется… Экономическая модель служит средством анализа предшествующего экономического развития, становится важным инструментов плановых расчетов. Существуют 2-а вида зависимости: 1. Статистическая; 2. Функциональная. При статистической зависимости изменение одной из величин ведет к изменению распределения другой; частным случаем является корреляционная зависимость (при изменении одной величины в среднем изменяется соответствующая зависимая величина). При функциональной зависимости изменение одной величины ведет к изменению другой. Значению Х соответствует значение Y (например зависимость между ростом и весом человека). Важнейшей составляющей задачи корреляционного анализа является устранение вида зависимости y=f(x), отыскание такого уравнения регрессии, которое наилучшим образом соответствует характеру изучаемой связи. Это уравнение явл. важной составляющей математической модели. Уравнение регрессии Yср.= (y1 + y2 + … + yn)/n. Прямая линия регрессии y=ax+b. Для отыскания параметров a и b состовляется нормальное уравнение a∑x2i+b∑xi=∑xiyi и a∑xi+bn=∑yi aX2ср +bXср=XYср и aXср+b=Yср. Если бы не было уравнения регрессии, то для оценки определяется средняя квадрата отклонения (дисперсия): Sy2ср=∑(yi-yср.)2/n, yср=Syср Сравним это отклонение с отклонением от прямой линии регрессии: Sy2x=∑(yi-yiрасчетн.)2/n, yx=Syx. Отклонение от среднего значительно больше чем отклонение от прямой линии регрессии; установим на сколько: ((Sy2ср-Syx2)/ Sy2ср)100%. Таким образом мы получим учет влияния признака X на признак Y. Величина (Sy2ср-Syx2)/ Sy2ср – коэффициент детерминации, характеризует силу воздействия данной причины (признак Х) на связанный с ней показатель Y. r= ((Sy2ср-Syx2)/ Sy2ср) – это коэффициент корреляции. Если он близок к единице, то между признаками Х и Y существует тесная связь. Если связи нет, то r=0. Коэффициент r изменяется от 0 до 1. Берется r со знаком “+”, если параметр a отрицателен. Часто связь между переменными по своей сущности не может быть охарактеризовано по прямой линии регрессии. Например, связь между размером однотипных предприятий и себестоимости их продукции. Логично предположить, что до известного предела увеличения размера предприятия соответствует уменьшению себестоимости продукции до известного придела, но начиная с некоторого предельного значения начинают усиливаться отрицательные особенности предприятий гигантов, указанная зависимость в этом случае должна быть зависимостью с точкой экстремума. В случае криволинейной зависимости между Y и X для оценки качества построенной зависимости используются индекс корреляционной зависимости; определяется по формуле: i= ((Sy2ср-Syx2)/ Sy2ср), где Syx2 – средний квадрат отклонения фактических данных от значений рассчитанных по уравнению: : i= ((Sy2ср-Syx2)/ Sy2ср)= ((1-Syx2)/ Sy2ср). Усложнение уравнения кривой регрессии приводит к увеличению идекса криволинейной корреляции, но слишком сложное уравнение кривой регрессии лишено экономически реального содержания, т.к. в этих сложных уравнениях теряются различия между не типичным и существенным, а случайность возводится в закономерность. Уравнение изучаемой корреляционной связи должно быть возможно более простым, чтобы сущность проявлялась достаточно четко, а параметры толковались экономически четко.7. Доверительные границы и оценка значимости характеристик корреляционного уравнения связи.
Обычно корреляционный анализ основывается на данных некоторой выборочной части генеральной совокупности. Предположим, при изучении связи между показателями получили уравнение регрессии и вычислен коэффициент корреляции. Если появилась возможность привлечь все единицы генеральной совокупности для анализа и на этой основе вновь определить уравнение регрессии и вычислить коэффициент, возникнет вопрос будут ли совпадать полученные уравнения и коэффициент. Полное совпадение может быть лишь случайным, в целом же характеристики, полученные по выборочным данным будут с ошибками. Исчисление вероятности ошибок и оценка параметров генеральной совокупности по данным выборочного расчета явл. в большинстве случаев необходимой составной частью разработки ЭВМ. Рассмотрим вопрос об ошибке, полученной при замене значений зависимой переменной Y выборочными расчетными данными. В качестве меры такой ошибки выступает средний квадрат отклонений расчетных данных от фактических. Предположим, отклонение действительных значений от значений полученных от значений прямой линии регрессии подчиняются нормальному закону. Если по обе стороны от прямой линии регрессии на расстоянии б=Syx провести две прямые в соответствии со свойствами нормального распределения между полученными двумя прямыми будут находится 68% всех фактических значений Y, P( I X-M(X) I <б)=2Ф(1)=20.34=0.68. Если по обе стороны от прямой линии регрессии провести прямые на расстоянии 2б то в полученную полосу с вероятностью 0.95 попадают фактические значения Y. Если по обе стороны провести прямые на расстоянии 2.58б, то между полученными прямыми будет 99% фактических значений Y. Если для какой то единицы входящей в генеральную совокупности но не вошедшую в выборочную, известно Х фактическое, то по уравнению линии регрессии можно определить для этой единицы Yрасч.=Y(хфакт). Нельзя ожидать, вычисленное значение Y совпадет с Yфакт., но границы, в которых заключено это фактическое значение указать можно. С вероятность 0.68 можно утверждать, что:Yрасч.(Xф)-б≤ y(Хф)≤Yрасч(Хф)+б. С вероятностью 0.95 можно утверждать, что: Yрасч.(Xф)-26≤ y(Хф)≤Yрасч(Хф)+25. С вероятностью 0.99 можно утверждать, что: Yрасч.(Xф)-2,580≤ y(Хф)≤Yрасч(Хф)+2,5.
Коэффициент корреляции, вычисленный по выборочным данным, также не совпадает с коэффициентом корреляции генеральной совокупности. Ошибка коэффициента корреляции определяется формулой: бr=(1-r2)/ (N-1). Как правило r2 не известно, но при большем объеме выборки в качестве r2 при вычислении ошибки можно использовать rb: бr=(1-rb)/ (N-1). Таким образом если по выборочным данным расчитан коэффициент кореляции и его ошибка б, то с вероятностью 0.95 можно утвердить, что: r2є[rb-2б; rb+2б] с вероятностью 0.99: r2є[rb-2.58б; rb+2.58б]. Наиболее практический интерес представляет проверка нулевой гипотизы. Т.к. коэффициент корреляции r2 не равен rb, то не исключено, что даже если r2=0, то rb не равно 0. Проверим значимость rb: выдвенем нулевую гипотезу r2=0, и определим может ли полученное значение rb быть обусловлено случайными колебаниями или оно слишком велико для такого предположения; т.к r2=0, то ошибка б2=1/ (N-1); при нормальном распределении отклонения r2 от rb с вероятностью 0.95 можно утверждать, что: rbє[-2б2; 2б2]. Если вычесленный коэффициент корреляции, выходит за пределы, то гипотезу следует отвергнуть, значит существует связь меду признаками генеральной совокупности. Рассмотренная методика проверки значимости и определение доверительных интервалов проста, но применима лишь в случае нормально распределенных отклонений и большого объема выборки. Существуют более общие методы оценки значимости, основанные на дисперсионном анализе.8. Модели множественной корреляции.
Величина исследуемого показателя особенно в экономике зависит от многих различных факторов. Для измерения совместимости влияния ряда факторов на величину анализируемого показателя строятся модели множественной корреляции, в них зависимая прямая у рассматривается как функция нескольких переменных. у=f(x1,x2,…,xn). Как и в парной корреляции важным является форма связи. В многофакторных моделях выбор уравнения регрессии сложная задача, т.к. действия различных факторов переплетаются и отсутствует возможность графического контроля. Еще большее значение приобретает начальный анализ характера связи каждого из показателей с зависимым показателем у, если связь линейная, то в качестве уравнения регрессии выступает зависимость: y=a0+a1x1+a2x2+…+anxn. Связь может включать переменные в более высоких степенях: y=a0+a1x1+a2x22+a3x1x2+… . Часто используется линейно логарифмическая функция:
logy=a0+a1logx1+a2logx2+…+anlogxn или y=a0x1a1*x2a2…xnan . Не исключено что в этих моделях могут использоваться более сложные математические функции, но это редко, т.к. сложная функция экономики трудно истолковывается и вычисление параметра этой функции становится трудным даже с использованием ЭВМ. Метод наименьших квадратов дает единую методику для составления нормальных уравнений для определения параметров связи. Составим систему нормальных уравнений для расчёта двухфакторной линейной зависимости:
y=a0+a1x1+a2x2; S(a0,a1,a2)=∑ni=1(yi-yрасч)2=∑ni=1 (yi-a0-a1x1i-a2x2i)2. a0,a1,a2 S→min
∂S/∂a0=(∂/∂a0) n∑i=1 ( )=n∑i=1(yi-a0-a1x1i-a2x2i)2=∑2(yi-a0-a1x1i-a2x2i)(-1)=0. na0+a1n∑i=1x1i-a2n∑i=1x2i=n∑i=1yi . n∑i=12(yi-a0-a1x1i-a2x2i)(-x1i).
n∑i=12(yi-a0-a1x1i-a2x2i)(-x1i)=0 =>
=> n∑i=1yix1i- n∑i=1a0x1i- n∑i=1a1x1i2- n∑i=1a2x2ix1i=0. a0 n∑i=1x1i+a1 n∑i=1x1i2+a2 n∑i=1x1ix2i= n∑i=1yix1i .
∂S/∂a2=(∂/∂a2) n∑i=1 ( )=n∑i=1(-2)(yi-a0-a1x1i-a2x2i)x2i=0.
n∑i=1 (yix2i-a0x2i-a1x1ix2i-a2x2i2)=0. ∑yix2i-a0∑x2i-a1∑x1ix2i-a2∑x2i=0.
a0∑x2i+a1∑x1x2+a2∑x2i2=∑yix2i.
Надёжность оценок исследуемого показателя получаемых по уравнению корреляции будет тем выше чем меньше рассеяние факторных данных по отношению к значениям показателя, вычисляемым по уравнению связи. Мера надёжности – средне квадратическая ошибка уравнения множественной линейной регрессии: Sy(x1x2…xn)=√∑(yфак-yрасч)2/N-K , здесь N- число наблюдений, К- число параметров в уравнении регрессии. Если уравнение связи вычислено по выборочным данным, то зная среднее квадратичное отклонение Sy(x1x2…xn) можно указать интервал, в который с заданной вероятностью попадут истинные значения исследуемого показателя: σ =Sy(x1x2…xn).
Урасч Є[урасч–σ, урасч+σ]0,68 ; Уфакт Є[урасч–2σ, урасч+2σ]0,95 ; Уфакт Є[урасч–2,58σ, урасч+2,58σ]0,99. Отвлечённой мерой тесноты связи между включаемыми в модель показателями - факторами и зависимым показателем является коэффициент множественной корреляции: (√S2y-S2y(x1x2…xn)/S2y)=Ry(x1x2…xn). Коэффициент множественной корреляции характеризует тесноту связи между признаками x1x2…xn и У, он характеризует силу совместного воздействия признаков x1x2…xn на результирующий признак У. Коэффициент R принимает значение от 0 до 1 и знака не имеет, т.к. одни факторы могу влиять в прямом направлении, а другие в другом. Представляет интерес измерение степени влияния каждого отдельного фактора на результирующий показатель. Понятие частной корреляции: предположим, что при исследовании зависимости был учтён сначала 1 фактор и получено уравнение парной регрессии: y=a0+a1x1, далее был вовлечён в исследование 2 фактор, действующий на зависимую переменную у, и получено уравнение: y=a0|+a1|x1+a2x2, требуется установить в какой степени введение 2 повысило точность оценки зависимой переменной У, получаемой по уравнению множественной регрессии: (√(S2y(x1)-S2y(x1x2))/ S2y(x1))=ry(x2)x1. Коэффициент ry(x2)x1 характеризует тесноту связи между независимой переменной x2 и зависимой переменной у при уже учтенном влиянии 1-ого фактора (част. корреляция называется чистой корреляцией). Связь между переменной переменными х2 и у могла бы охарактеризована обыч. коэффициентом парной корреляции. Если найти уравнение связи между у и х2 по выборочным данным без учёта независимой переменной х1 и определить среднеквадратическую ошибку S2yx2 по уравнению прямой регрессии без учета х1, то то коэффициент парной корреляции по формуле: ry(x2)=(√(S2y(x2)-S2y)/S2y) между ry(x2) и ry(x2)х1 имеются существенные различия: коэффициент ry(x2) учитывает влияние х2 на у, при этом х1 вообще не учитывается, изменчивость переменной у приписывается изменчивость переменной х2. Коэффициент тж. характеризует влияние х2 на у, но при этом в модели учитывается переменная х1, при анализе частной корреляции со вторым фактором, 1 фактор остаётся неизменным и не может исказить характер изменения у в зависимости от колебаний переменной х2. Аналогично вводится понятие частной корреляции между у и х1 при неизменной величине х2. Коэффициент частной корреляции ry(x1)x2: ry(x1)x2=(√S2y(x2)-S2y(x1x2)/S2y(x1)). В общем случае, когда в модель включено n-независимое факторов, коэффициент частной корреляции определяется по формуле: ry(x1)x2x3…xn=(√S2y(x2x3…xn)-S2y(x1x2…xn)/ S2y(x1x2…xn))9. К вопросу о включении в модель факторов.
Разработка моделей требует всестороннего анализа о включении в корреляционную модель влияющих / воздействующих на исследуемый показатель. Стремление учесть побольше факторов редко оправдывается, модели получаются громоздкие, влияние большинства факторов несущественно => с самого начала в корреляционную модель должны отбираться факторы, оказывающие наиболее сильное влияние на показатель. На 1-ом этапе такой отбор осуществляется методами качественного анализа, добавляются простым сопоставлением имеющегося количества данных. После определения компонентов модели правильность отбора факторов определяется математическими расчётами. Методы дисперсионного анализа позволяют проверять значимость каждого коэффициента регрессии в отдельности.10. Общее замечание по поводу применения корреляционной модели.
По уровню связи оценивают величину переменной для каждой единицы качественно однородной с исходящими единицами. Если известны значения переменной. 2 случая различают: 1)величина нашей первой принадлежит интервалу, в котором изменяются имеющиеся исходные данные; 2)находящаяся вне этих пределов. В 1-ом случае производится интерполяция: надёжность оценки по уравнению связи определяется, напр., средним квадратическим отклонением; во 2-лм случае производится экстрополяция: к оценкам, получаемым по уравнению связи, относятся с осторожностью. За пределами вариации данных, которые используются для построения корреляционной модели, могут действовать закономерности, которые изменяют направления и характеризуют линии регрессии.11. Применение дисперсионного анализа в экономических исследованиях.
В теории вероятностей математической статистики рассматривалось задание сравнения математического ожидания 2-х совокупностей. На практику часто возникают задачи более общего характера – задачи проверки существенности различий средних выборочных нескольких и > совокупностей. Например, требуется оценить влияние различного сырья на качество производимой продукции, решить задание о влиянии количества удобрений на урожайность с/х продукции. Математически мы приходим к следующей обобщённой задаче. Пусть имеется х1х2…хр генеральных совокупностей, они распределены по нормальному закону с одинаковыми дисперсиями Д1=Д2+…=Др=Д, они неизвестны; одинаковыми математическими ожиданиями М(х1) М(х2) … М(хр) они могут отличатся. Уровень значимости α задан, при нём проверить гипотезу Но: М(х1)= М(х2)=…= М(хр), т.е. значимо ли различие выборочных средних. Проверить гипотезу по выборочным данным. Для сравнения выборочных средних ˉх1, ˉх2,…, ˉхр достаточно сравнить их попарно, но с ростом р числа растёт и различие между выборочными средними, поэтому применяется другой метод, который называется методом дисперсионного анализа, основанный на сравнении дисперсии. МДА – статистический метод, предназначенный для оценки влияния различных факторов на результат эксперимента (Фишер 1918г.). По числу факторов, влияние которых изучается, различают одно и многофакторный дисперсионный анализ. На практике ДА используется для того чтобы установить оказывает ли существенное влияние некоторый качественный фактор F, имеющий р уравнений F1,F2,…,Fp на изучаемую величину х.12. Общая, факторная и остаточная суммы отклонений.
Пусть на количественный признак х (нормально распределённый) воздействует F, имеющий р постоянных уравнений F1,F2,…,Fp, предположим, что на каждом уровне число наблюдений одинаково u=q. Пусть наблюдаемость n=pq, признака xij i-номер испытаний j-номер уровней. Введём обозначения ; ;
F1 F2 … Fp
1 X11 X12 … X1p
2 X21 X22 … X2p
… … … … …
Q Xq1 Xq2 … Xqp
Группов. ср.
; ; Sфакт=q∑(xxipq )2;
Sост=q∑i=1(xi1- гр1)2+ q∑i=1(xi2- гр2) 2+ q∑i=1(xip- грp) 2;
Факторная сумма – сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней. Факторная сумма характеризует рассеяние между группами.
S остат харак-ет расстояние внутри группы. На практике S остат. Находиться по формуле: S остат. = S общая. - S фактор. Путем преобразований получаем более удобные формулы:
Sфакт=((p∑j=1Rj2)/q)-(p∑j=1Rj/pq)2 ; Sобщ=p∑j=1Pj-(p∑j=1Rj/pq)2 ;
Pj= q∑i=1xij2 – сумма квадратов на уровне j ;
Rj= q∑i=1xij13. Общая, факторная и остаточная дисперсии.
В дисперсионно анализе, анализируются не суммы кв-тов отклонений, а суммы, деленые на соответствующее число степеней свободы, оно явл. несмещенными оценками для соответствующей дисперсии. Число степеней свободы – число кв-тов в минус число связ-щих их уравнений. Для факторной число степени свободы = Р-1. Для S остаточных, число степ. Свободы = P(q-1). Для S общей, число степеней свободы = n-1 следовательно p(q-1). Можно показать, что: S²факт=Sфакт/р-1; S²остат=Sостат/р(q-1); S²общ=Sобщ/р(q-1). Диссперсия остат. И факторн. Независимы и являются независимыми и несмещ-ми. Оценками для одной и той же дисперсии ². Факторн. И остат. Дисперсии независимы друг от друга, обе они явл. несмещенными оценками одной и той же дисперсии ², следовательно, проверка нулевой гипотезы Мо: М(х1)=М(х2)=… о равенстве мат. Ожиданий по ген. Сов-ти свелась к проверке существенности различия несмещенных выборочных оценок S²факт и S²остат. Проверка осуществляется с пом. F статистикой F= S²факт/ S²остат. Гипотеза отвергается, если фактически вычисленное значение статистики FнаблFкрит.=F,ν, ν 2; которое определяется числом степеней свободы и уровнем значимости . F критическое находиться по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора. Гипотеза принимается, если FнаблFкритич-го. Опровержение нулевой гипотезы означает наличие сущест. различий в зависимости от уровня фактора. Чтобы установить какую долю дисперсии объясняет зависимость пр-ка х от фактора опр-ют коэф-т детерминации: Kg=отношение фактор-й вариации к общей вариации. Т.к. FнаблFкрит. То гипотеза о равенстве выборочн-х средних отверг-ся; уст-на сущест-ть различия выборочных средних. Если оказ-сь, что фактор-я дисперсияостат., то следовательно, справедливость гипотезы о равенстве групповых средних и нет необходимости прибегать к таблице. Вычислим остат., фактор. суммы по упращенным формулам.14. Проверка значимости уравнения регрессии.
Проверить значимость УР, значит установить соотв-т ли мат-я модель, выраж-ая завис-ть меж-у переменными, имеющ. Эксперимент. Данным. Ранее рассматривалась методика проверки значимости и вычисление К корреляции, установление доверит-х интервалов, пар-ров корреляц. Связи. Однако, эта методика исполняется лишь когда нормально распред-на ген. Сов-ти и достат-но большого объема выбороч. Сов-ти. Сущ-ют более общие м-ки оценки значимости, они осн-ны на методе дисп-ии анализа. Согласно основной идее DA нужно: (yi-ŷ)²= (axi+b-ŷi)²+ (yi-axi-b)²= Sфакт+ Sостат, где Sфакт обусловлена регрессией, Sостат харак-твл-ние неучтенных факторов в точке xi; по Sфакт и Sостат нах-ся дисперсии S²факт и S²остат, при этом число степеней свободы для фактор: ν1=m-1, a число степеней свободы для остат ν2=n-m, n-число наблюдений, m- число параметров зависимости, оцениваемых по выбор. Данным. В случае мн. Зависимости y=ax+b m=2. Уравнение регрессии значимо на уровне значимости , если: Fнаблюд= S²факт/S²остатFкрит(,ν, ν 2). Fкрит находится по таблице распределения Фишера-Снедекора по и ν. Статистика F показ-т в какой мере регрессия лучше оценивает значения завис-ти переменной по сравнению с ее средней.15. Нелинейная регрессия.
Наиболее часто встречаются след. Виды ур-ний нелин. Регрессии: 1) полиномиальная y=a0+a1x1+a2x1²+…+anx1ⁿ 2) гипербалическая зависемость y=a0+a1/x; 3) степенная y=a0xA. Зависемость гипербалическую приводят к виду T=1/x; y=a0+a1T lny=lna0+a1lnx; lny=Y lna0=A lnx=x , следовательно Y=A+a1X.
Ст-ть акций по городам некот. Фирмы указана в таблице: T-1992, 1993, 1994, 1995, 1996. Yi – 9, 9, 11, 10, 12. Для выявления тенденции ст-ти на буд годметодом наименьших квадратов найти прямую линию, вычисл. Прогнозир-мое значениеакции на 1997, при =0,05 проверить значимость полученного ур-ния регрессии.16. Основные понятия матем-го моделирования.
Термин экономико-матем. Методы – обобщающее название комплекса экон-их и матем-их научных дисциплин, объединенных для изучения соц-экон. Систем и процессов. Осн-ным методом исследования систем является метод моделирования, т.е. способ теоретич-го анализа и практич-х действия, направленный на разработку и использование моделей. Модель- образ реального объекта в материальной или идеальной форме, отражающей сущ-ные св-ва моделируемого объекта и заменяющий его в ходе исследования и управления. Важнейшим понятием при экономико-матем. Моделировании, является пон-ие адекватности модели, т.е. соответствия модели моделируемому объекту или процессу. При модел-ии имеется в виду не просто адекватность, но и соответствие по тем св-вам, которые счит-ся существенными для исследования.17. Этапы экономико-математического моделирования.
Процесс модел-ния вкл-ет 3 структурных элемента: 1) объект исследования 2) субъект (исследователь) 3) модель, опосредующую отн-ния между познающим суб-ом и познавательным объектом. Общая схема процесса модел-ния состоит из 4 этапов: 1) мы конструируем другой объект – модель исходного объекта оригинала (любая модель замещает оригинал в строго-ограниченном смысле); 2) модель выст-т как самостоятельный объект исследования (конечным результатом этапа явл-ся совокупность знаний о модели в отн-нии сущест-ных сторон объекта – оригинала, которые отражены в данн. модели); 3)перенос знаний с модели на оригинал; 4) проверка получ-х с пом-ю модели знаний и их исп-е как для построения обобщ-ейтеории реального объекта, так и для его целенаправленного преобразования или упр-ния им.18. Понятие классификация рядов динамики.
Важной задачей является изучение изменений анализируемых показателей во времени, их изучают, если имеются данные по определенному кругу показателей на ряд моментов времени или за ряд промежутков времени следующих друг за другом. Ряд расположенных в хронологической последовательности значений статистических показателей – временной (динамический) ряд. Каждый временной ряд состоит из 2 элементов: 1) моменты (периоды) времени; 2) значения статистических показателей. Статистические показатели, характеризующие объект называются уровнями. Различают моментные и интервальные ряды. Примером моментного ряда может быть ряд динамики, показывающий число вкладов населения в учреждениях банка на конец года. Уровнями этого ряда являются итоги статистики вкладов по состоянию на определенную дату. Примером интервального ряда может быть ряд, характеризующий число построенных квартир предприятием на период 1996-2002 гг. Из различий характера моментного и интервального рядов вытекают некоторые особенности их уровней. Уровни интервального ряда динамики характеризуют собой суммарный итог какого-либо явления за определенный отрезок времени, они зависят от продолжительности этого периода, их можно суммировать как не содержащие повторного счета. Отдельные уровни моментного ряда содержат элементы повторного счета, это делает бессмысленным суммирование уровней моментных рядов динамики.20. Выявление и характеристика основной тенденции развития показателя во времени.
Одной из задач, возникающих при анализе рядов динамики, является установление закономерности изменения уровней изучаемого показателя. Ряд динамики может быть подвержен влиянию факторов эволюционного характера, а также находится под влиянием факторов разного воздействия. Влияние эволюционного характера – изменение, определяющие некое общее направление развития, которое пробивает себе дорогу через другие систематические или случайные колебания. Такие изменения динамического ряда называют тенденцией развития или трендом. Таким образом тренд – функция, зависящая от времени, определяющая основную тенденцию развития показателя во времени. В динамическом ряду выделяют 4 компоненты: основную тенденцию(Т), циклическую(К), сезонную(S), случайные колебания(Е). Тренд можно представить в виде: y = f(T,K,S,E). От того как связаны компоненты может быть построена мультипликативная и адативная модель.19. Показатели изменения уровней ряда динамики.
Анализ скорости и интенсивности развития явления во времени осуществляется с помощью статистических показателей, которые получаются в результате сравнения уровней между собой; к ним относят: темп роста, темп прироста, абсолютное значение 1% прироста, абсолютный прирост. Сравниваемый уровень называется счетным, а уровень, с которым сравнивают – базисным. Показатели динамики с постоянной базой характеризует окончательный результат всех изменений уровней ряда, от периода, к которому относится базисный, до периода i-го данного. Показатели динамики с переменной базой (цепные показатели) характеризуют интенсивность изменения уровня от периода к периоду. Абсолютный прирост ∆Т= yi-y0 (базисный). Цепной прирост: ∆ц= yi-yi-1. Абсолютный прирост с переменной базой называют скоростью роста. Коэффициент роста – отношение 2 сравниваемых уровней: Кб=yi/y0; Кц=yi/yi-1. Темп роста: Тp= К*100%; темп прироста показывает на сколько процентов уровень данного периода больше или меньше базисного периода: Тn=(yi-y0/y0)*100%. Для обобщающей характеристики динамики исследуемого явления за ряд периодов определяют различного рода средние показатели. Рассматривают 2 категории показателей: 1) средние уровни ряда; 2) средние показатели изменения уровней ряда. Метод расчета средних уровня ряда зависит от вида временного ряда; для интервального ряда средний уровень за период определяется как простая средняя арифметическая: = , средний уровень моментного динамического ряда определяется несколько иначе. Если промежутки между датами одинаковые, то расчет средней уровня по формуле средней хронологической: хр= . При выводе этой формулы предполагалось, что изменение уровня между 2 датами непрерывно и равномерно. В качестве среднего для одной даты бралась среднеарифметическая на начало и конец момента. Для определения среднего уровня моментного ряда с неравномерными промежутками между временными датами вычисляется среднеарифметическая взвешенная. В качестве весов принимается продолжительность промежутков времени между моментами, в которые происходит изменение уровня динамического ряда: = . Средний абсолютный прирост рассчитывается как среднеарифметическая из показателей скорости роста за отдельные промежутки времени: . Средний коэффициент роста вычисляется по формуле средней геометрической: = . Средний темп прироста не может быть определен непосредственно на основании последовательности темпов прироста или показателей среднего абсолютного прироста; сначала необходимо найти средний темп роста: = - 100% => = *100%.
Вернуться назад к списку работ... Курсовые от 10 р. Дипломные от 20 р.